منتديات المدرسة الخامسة والستون (65) الثانوية ..
مرحباً بكم في منتدانا المتمييز بوجود طالباتنا المتميزات فيه ونرجوا منك التسجيل في منتدانا لنكمل شمل عائلتنا داخل وخارج المدرسة .. :)

منتديات المدرسة الخامسة والستون (65) الثانوية ..

نتشرف بزيارتكم لمنتدى مدرستنا المتميزه بوجود طالباتنا المبدعات فيه .. :)
 
الرئيسيةاليوميةمكتبة الصورس .و .جبحـثالأعضاءالمجموعاتالتسجيلدخول
أفضل 10 أعضاء في هذا المنتدى
اسماء كحيل
 
الوكيلة سوزي البديع
 
سوزان بحيري
 
Lubna Makki
 
اصاله خليفه
 
لـوران الغـــامدي (Admin)
 
رباب آلشهيوين
 
ليال
 
لجين ناصر
 
رزاز مفتي
 
أفضل 10 أعضاء في هذا الأسبوع
أفضل 10 أعضاء في هذا الشهر
المواضيع الأكثر نشاطاً
شكر وتقدير
عرض بور بوينت اخلاقيات العمل
نكت مضحكه XD
خواطر مختصرة
خواطر كتبتها بنفسي :)
بمناسبة السنة الجديدة
طالباتي بالمستو ى الخامس ش 3 ط شكرا لكن
المبادئ السبعة للتعلم النشط
فيليكس بومجارتنر: قصة مغامر قفز من الفضاء
عبارتين ستجعلك في حيرة من أمرك فمع أي وآحده انت ؟
المواضيع الأخيرة
» تحضير توحيد1 و فقه1 النظام الفصلي
الإثنين يوليو 27, 2015 1:14 pm من طرف swandesign4

» فايزة باكوينة (انشطة وفعاليات المدرسة)
الخميس مارس 20, 2014 11:35 pm من طرف فايزة باكوينة1

» فعاليات مجموعة ( فينا خير )
السبت مايو 04, 2013 10:21 pm من طرف وجدان مناع

» تَهْنِئة ~#
الثلاثاء أبريل 30, 2013 12:38 am من طرف فاطمة العمري

» تهنئة وتبريكات
السبت أبريل 27, 2013 10:19 am من طرف وجدان مناع

» مسابقة كلنا نقدرك في الرسم
الأربعاء أبريل 24, 2013 1:38 am من طرف وجدان مناع

» (( فينا خير ))
الأربعاء أبريل 24, 2013 1:01 am من طرف وجدان مناع

» ملتقى المناهج الدراسية
الخميس أبريل 18, 2013 8:40 pm من طرف وجدان مناع

» تهنئة للأستاذة الفاضلة / ماجدة باناجه
الأربعاء أبريل 10, 2013 1:54 am من طرف فاطمة العمري

المواضيع الأكثر شعبية
عناصر الفعل القرائي
الكفاية النحويه ..( الاساليب النحوية)
حديث عن خطورة معاداة اولياء الله
الضغوط ومظاهرها ..
خطر المنافقين وبعض أفعالهم القبيحة..
paragraph - How to stay healthy
حالة الاتزان الديناميكي
paragraph - Modern technology
الكهرباء التياريه
الحذف والزياده :)
المتواجدون الآن ؟
ككل هناك 1 عُضو حالياً في هذا المنتدى :: 0 عضو مُسجل, 0 عُضو مُختفي و 1 زائر

لا أحد

أكبر عدد للأعضاء المتواجدين في هذا المنتدى في نفس الوقت كان 53 بتاريخ الأربعاء يناير 16, 2013 12:52 am
بحـث
 
 

نتائج البحث
 
Rechercher بحث متقدم

شاطر | 
 

 [b] مثلث باسكال [/b]

استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي اذهب الى الأسفل 
كاتب الموضوعرسالة
رزاز مفتي



عدد المساهمات : 13
تاريخ التسجيل : 13/10/2012

مُساهمةموضوع: [b] مثلث باسكال [/b]   الثلاثاء نوفمبر 20, 2012 4:37 am

مقدمة في مثلث باسكال
الرياضيات هي لغة العلم. الأمر الذي قد يكون من الصعب صور قد يكون من السهل أن نفهم رياضيا. ويجوز للمعادلة رياضية يستغرق خط واحد في حين أن نفس الشيء في كتابة الكلمات قد تستغرق فقرة كبير.
في هذا المقال أود أن أعرض بعض طرق ذكية للقيام الجبر والعمليات الحسابية باستخدام آلة حاسبة بسيطة. بواسطة آلة حاسبة بسيطة يعني واحد أن يفعل سوى الأساسيات (زائد، ناقص، ضرب وقسمة). في النهاية، يجب أن تكون قادرة على حساب الجذور صعبة للغاية مع هذه الآلة الحاسبة.
كان عالم الرياضيات الفرنسي - بلاز باسكال (1662 1623). ويستخدم لقبه كوحدة الضغط. واحد من أقواله كانت الإشارة إلى أن 'وكان أنف كليوباترا تشكلت بشكل مختلف، لكان تاريخ العالم المختلفة. وهو الأكثر شهرة لمثلث يحمل اسمه، مثلث باسكال. في الواقع، كان يعرف بالمثلث إلى الصينيين والعرب على حد سواء لعدة مئات من السنين من قبل.
وهي ليست مثلث هندسي لكن مثلث من الأرقام. هنا هو التالي:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
دراسة هذه الأرقام ومعرفة ما اذا كان يمكنك معرفة ما السطر التالي يجب أن يكون قبل القراءة على. . .
كل رقم في المثلث هو مجموع 2 أعلاه. على سبيل المثال، 6 في السطر 5 هو مجموع هذا الزوج من 3 في أعلاه. لذلك السطر التالي هو
1، 10 (1 + 9)، 45 (9 + 36)، 120 (36 + 84)، الخ.
وأنا الآن تغيير على ما يبدو هذا الموضوع، وتحول إلى شيء من علم الجبر.
________________________________________
جبري التوسعات
تخيل وجود لتوسيع تعبير مثل
(1 + س) 2
ب "توسيع" أعني إزالة الأقواس. للتذكير، يتم توسيع التعبير من هذا القبيل:
(1 + س) 2 = (1 + س) (1 + س) = 1 + + 2X × 2
في وسط هذا الزوج من الأقواس، يتم ضرب كل مصطلح في قوس اليسار من قبل كل مصطلح في الشريحة حق. يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع مكعب، أي (1 + س) 3.
(1 + س) 3 = (1 + س) (1 + س) (1 + س) = (1 + س) (1 + 2X + س 2)
= 1 + 3X + 3X 2 + س 3
اذا نظرتم الى معاملات (الأرقام من تلقاء نفسها، وأمام لخ) من نتائج سوف ترى أن لأول واحد هم 1، 2، 1 و لثانية واحدة هم 1، 3، 3، 1. هذه، بالطبع، هي الخطوط من مثلث باسكال. ونعم، انها لا تعمل من أجل كل قيم عدد صحيح الايجابية للمؤشر. تثبت لنفسك قبل أن علم الجبر،
(1 + س) 4 = 1 + 4X + 2 + 6X 4X 3 + 4 ×
في الواقع هناك قاعدة عامة مفادها
(أ + ب) 4 = أ 4 + ب + 3 4A 6A 2 (ب) 2 + 3 + 4AB (ب) 4
كما ترون، الفهارس تبدأ في 4 و تنحدر لأ. هذا في الوقت الذي تصعد الى 4 لفي ب معاملات هي 1، 4، 6، 4، و 1 من مثلث باسكال. لذلك دعونا نحاول مثال على ذلك.
توسيع (2 + 3X) 5.
تطبيق القاعدة العامة من الصعود والنزول الفهارس ومعاملات من باسكال نتمكن من توسيع فورا المعادلة أعلاه (إذا كان لنا أن تعيين إلى 2 و (ب) إلى 3):
2 5 + 5 (2 4) (3X) + 10 (2 3) (3X) 2 + 10 (2 2) (3X) 3 + 5 (2) (3X) 4 + (3X) 5
هذا يبسط إلى
32 + + 240x 720x 2 + 3 + 1080x 810x 243x 4 + 5
حان الوقت الآن لتغيير على ما يبدو هذا الموضوع مرة أخرى ...
________________________________________
تحديدات وتركيبات
تخيل لديك خمسة كتب. دعونا نتصور أن كنت تريد قراءة واحدة. كم طريقة هناك لاختيار كتاب واحد؟ حسنا، هذا أمر سهل، وهناك 5 طرق. إذا كان لنا أن تسمية الكتب A، B، C، D، E، يمكن أن نختار أي واحد من خمسة، وخمسة اختيارات مختلفة.
كم من الاختيارات هناك إذا أردنا اختيار اثنين من الكتب؟ حسنا، دعنا سرد كافة مجموعات:
AB، AC، AD، AE، قبل الميلاد، دينار بحريني، BE، CD، CE، DE.
التي تجعل من 10 التحديدات.
إذا ما أردنا حول ثلاثة من الخمسة؟ حسنا، هذا سهل. اختيار ثلاثة من الخمسة هو نفسه التخلص من اثنين من 5 حتى أن هناك عشر طرق للقيام بذلك. اختيار 4 من 5 هو نفس نبذ واحد من خمسة طرق خمسة. بالطبع، إذا كنت تريد تحديد كافة الكتب الخمسة ليس هناك سوى طريقة واحدة للقيام بذلك. هناك أيضا طريقة واحدة فقط من اختيار أي الكتب! تبويب لذلك لدينا:
عدد من الاختيارات من 5
0
1
2
3
4
5

عدد من الطرق لجعل الاختيارات
1
5
10
10
5
1

مرة أخرى، وهذه الأرقام هي خط من مثلث باسكال.
هذا هو الجانب الرائع من الرياضيات التي هي في الواقع مرتبطة على ما يبدو لا علاقة موضوعين، وفي هذه الحالة لدينا وجود صلة بين التوسعات الجبرية والاختيار.
يتم كتابة عدد من الطرق لتحديد الكائنات ص من إجمالي ن كما
ن C R
لذلك يمكن كتابة التحديدات فوق رياضيا على النحو التالي:
هناك طريقة واحدة لتحديد أي كتب في الفترة من 5
5 C 0 = 1

هناك 5 طرق لاختيار 1 كتاب في الفترة من 5
5 C 1 = 5

هناك 10 طرق لاختيار الكتب 2 من 5
5 C 2 = 10

هناك 10 طرق لاختيار 3 كتب في الفترة من 5
5 C 3 = 10

هناك 5 طرق لاختيار 4 كتب في الفترة من 5
5 C 4 = 5

هناك طريقة واحدة لاختيار 5 كتب في الفترة من 5
5 C 5 = 1

السؤال: "كم من الطرق هناك من اختيار ستة أشياء من ثمانية؟". رياضيا، والجواب هو 8 C 6. من مثلث باسكال، وهناك ما مجموعه ثمانية الكائنات بحيث نظرتم الى خط البداية مع 1، 8، الخ. تحتاج إلى تحديد 6 لذلك نعول على طول من الصفر، حتى كنت تعول ستة. وهناك عدد 28 ما هناك 28 التحديدات.
رياضيا نستطيع كتابة 8 C 6 = 28.
بدلا من الاضطرار إلى حفظ مثلث باسكال، وسيكون من المفيد إذا كان هناك صيغة لحساب ن C R. يمكن استخدامها على حد سواء لتحديدات، وتوسيع عبارات جبرية. تذكر أن
(1 + س) 2 = 2 C 0 + 2 C + 1 × 2 م 2 × 2
= 1 + + 2X × 2.
هناك صيغة وأنه من السهل جدا للاستخدام ولكن يبدو صعبا. قد يكون من المفيد إعادة قراءة الجزء الأول من هذا المقال مرة أخرى.
________________________________________
صيغة لن C R
الصيغة ل n C r هي:
ن ج ر = ن! / (ن - ص)! ص!
ن مصطلح! (وضوحا ن مضروب) يعني ضرب معا جميع الأرقام كلها من 1 إلى n. لذلك،
1! = 1

2! = 1 × 2 = 2

3! = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

أيضا، 0! ويعرف ك 1.
حان الوقت الآن للعودة إلى التحديدات. كيف يمكن أن العديد من الطرق 8 كتب يتم اختيارها في الفترة من 11؟ الجواب، بالطبع 11 C (8) الذي يعطى عن طريق:
11 C 8 = 11! / (11 - 8)! 8! = 11! / 3! 8!
1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 × 11/1 × 2 × 3 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8
= 9 × 10 × 11/1 × 2 × 3
وهذا هو الآن في قضية إلغاء وصولا الى 165. لذلك هناك طرق لاختيار 165 8 كتب في الفترة من 11.
باستخدام الصيغة أعلاه بدلا من مثلث باسكال يمكننا أن ننظر في واحدة من التوسعات لدينا وأقول إن
(1 + س) 3 = 3 C 0 + 3 C 1 س + 3 C 2 × 2 + 3 C 3 × 3
وتبين أن
3 C 0 = 3! / 3! 0! = 1 × 2 × 3/1 × 2 × 3 × 1 = 1 (تذكر 0! = 1)
3 C 1 = 3! / 2! 1! = 1 × 2 × 3/1 × 2 × 1 = 3
3 C 2 = 3! / 1! 2! = 1 × 2 × 3/1 × 1 × 2 = 3
3 C 3 = 3! / 0! 3! = 1 × 2 × 3/1 × 1 × 2 × 3 = 1.
ومن ثم لا يمكن أن يحسب أعداد مثلث باسكال من الصيغة أعلاه للبحث م ن. يمكننا أن نفعل هذا من أجل أي قيمة ن هذا هو رقم موجب كله.
وخلاصة القول، يمكن استخدام مثلث باسكال:
لتشكل أساسا لاحتمالات اختيار (وتسمى هذه المجموعات، وبالتالي C في ما سبق ن ص C).
لتحديد معاملات من التوسعات من (1 + س) n، حيث n هو رقم إيجابي كله.
فقط أن أذكركم، عندما n هو رقم إيجابي كله التوسع يحتوي على X + 1 شروط.
التوسع ل(1 + س) 3 يحتوي على 4 بنود.
________________________________________
نظرية ثنائية
خلال القرن 10، الرياضيات العربية المختلفة وضعت سلسلة رياضية لحساب coeficients ل(1 + س) ن ن عندما كان رقما موجبا كله. عالم الرياضيات اللغة الإنجليزية، وسعت إسحاق نيوتن لغير صحيح الأرقام القياسية في القرن 17.
وقال انه قرر ان هناك توسعا ل(1 + س) ن التي يمكن استخلاصها من صيغة ن C R التي عملت لجميع قيم ن (الكسور، السلبيات، الخ). قبل أن ننظر إلى ما الفهارس كسور والسلبية تعني في الواقع وأنا أكتب صيغة نيوتن.
(1 + س) ن = 1 + NX + N (N-1) س 2/2! + N (N-1) (N-2) × 3/3! + ...
وهذا ما يسمى سلسلة سلسلة ذات الحدين.
عندما n هو رقم إيجابي كامل سلسلة لديه ن + 1 شروط وتنتج نفس النتائج كما كانت من قبل. لكن عندما لا يوجد ليست رقما موجبا كامل ثم يمضي لسلسلة من أي وقت مضى. وهذا ما يسمى سلسلة لا نهاية لها.
هناك نوعان من سلسلة لا نهاية لها. تخيل أن سلسلة لا نهاية لها وغني عن مثل هذا:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +. . .
وكانت سلسلة مثل هذا يحصل على اكبر وأكثر حيث قمت بإضافة. إذا كنت أخذت من كل وسيلة إلى ما لا نهاية، ثم أن مجموع هذه السلسلة أن تكون لانهائية. وهذا ما يسمى سلسلة متباينة. هذا النوع من سلسلة ليست ذات فائدة كبيرة لشيء.
ننظر الآن في هذه السلسلة اللانهائية:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +. . .
هذا المسلسل هو أيضا لا حصر له، وغني أيضا إلى الأبد. ومع ذلك، فإن أكثر حيث كنت تأخذ كل واحد يحصل على أصغر. هذا المسلسل لم يذهب أعلاه 2. كما كنت تأخذ شروط أكثر وأكثر من ذلك المبلغ يحصل أقرب إلى 2. ويقال إن هذا النوع من سلسلة إلى أن تتقارب.
الشيء مفيدة حول التقارب المسلسل هو انه يمكن استخدامها للقيام الحسابات. أن تأخذ مثل العديد من المصطلحات كما وهناك حاجة لجعل حساب دقيقة مثل التي تحتاجها. في المثال أعلاه، مع الأخذ الخمسة الأولى حيث يقدم لكم دقة من 2 عشرية.
في سلسلة ذات الحدين، اكتشف نيوتن أن لقيم ن التي لم تكن كلها أرقام إيجابية (أي لفهارس كسور والسلبية)، وسلسلة تتقارب إلا إذا كانت قيمة x هي 1 أو أقل، وأكثر من -1. في الرموز، سلسلة لتتقارب
-1 <س <= 1.
لجميع القيم الأخرى من يحيد سلسلة X. وبعبارة أخرى هناك حالات معينة عند يمكن استخدام السلسلة ذات الحدين لحسابات تقريبية.
دعونا نفعل عملية حسابية باستخدام 1 صيغة نيوتن ذات الحدين لتوسيع
(1 + س) 1/2.
سأشرح قريبا ما فهرسا من 1/2 وسيلة.
(1 + س) 1/2 = 1 + 1/2 س + (1/2) (-1 / 2) س 2/2! + (1/2) (-1 / 2) (-3 / 2) س 3/3! + ...
تفعل شيئا من علم الجبر تبسيط يعطينا:
(1 + س) 1/2 = 1 + س / 2 - س 2/8 + س 3/16 - ...
فماذا يعني مؤشر من 1/2 يعني؟ كذلك، دون الدخول في التفاصيل، س 1/2 هو الجذر التربيعي ل x (س √).
لذلك، فإن الصيغة المذكورة أعلاه، وتوسيع (1 + س) ويمكن استخدام 1/2، لحساب قيم تقريبية للجذور التربيعية طالما x هو أقل من أو يساوي 1.
إذا تركنا س = 1 ثم فإن هذه الصيغة تعطينا قيمة الجذر التربيعي ل 2، ومنذ
2 1/2 = (1 + 1) 1/2، ويمكن توسيع هذا في سلسلة أعلاه. اذا لم نفعل الحساب وبما يصل إلى اتفاق مع × 3 ثم نحصل على
(1 + 1) 1/2 = 1 + 1/2 - 1/8 + 1/16 - ... = 1 + 0،5-0،125 + 0.0625 - ...
هذا يساوي 1.4375. الجواب هو آلة حاسبة 1.4142. لمزيد من المصطلحات التي تستخدمها في أقرب تقريب يحصل على الجواب الحقيقي. لاحظ أيضا كيف أن كل مصطلح أصغر ثم الجيل الذي سبقه.
دعونا نفعل آخر.
العثور على لتقريب الجذر التربيعي ل 1.77.
أبدأ بالقول 1،77 1/2 = (1 + 0،77) 1/2 والتي يمكن توسيعها باستخدام نظرية ثنائية لإعطاء:
1 + (0.77) / 2 - (0،77) 2/8 + (0،77) 3/16 - ...
= 1 + 0،385-،0741 + 0.0285 - ...
الذي يعطي 1.3394 (1.3304 آلة حاسبة). ترى هذا هو دقيق إلى منزلتين عشريتين.
هذا هو كل شيء حسن وجيد، ولكن ما إذا كان يريد أن الجذر التربيعي لعدد أكبر (مثل 30)؟
لا يمكنك كتابة 30 1/2 = (1 + 29) 1/2 وذلك لأن سلسلة ذات الحدين لا تتلاقى إذا كانت x> 1.
هناك طريقة للالتفاف حولها.
الأولى التي تقوم فيها عن 30 في الشكل الذي يشمل أكبر الكمال مربع.
بدلا من أن تقول 30 1/2 = (1 + 29) 1/2 الذي لا يعمل، ونكتب:
30 1/2 = (25 + 5) 1/2
25 هو أكبر الكمال مربع أقل من 30. لا يمكننا اخراج 25 (تذكر رقم قياسي) وتقسيم كل شيء داخل القوس بنسبة 25.
وهذا يعطي لنا ما يلي:
30 1/2 = (25 + 5) 1/2 = 25 1/2 (1 + 5/25) 1/2
منذ 25 1/2 5 (الجذر التربيعي ل 25)، يمكننا إعادة كتابة هذه العبارة على النحو التالي:
30 1/2 = 5 (1 + 0،2) 1/2
على المدى داخل القوس هو الآن في شكل (1 + س) مع x <1 حتى نتمكن من استخدام توسع نيوتن ذات الحدين للحصول على قيمة الجذر التربيعي ل 1.2. ثم نضرب هذه القيمة بنسبة 5 (الرقم خارج القوس). وهذا سيتيح لنا الجذر التربيعي ل 30. عمل حساب نحصل على:
5 (1 + 0،2) 1/2 = 5 {1 + (0.2) / 2 - (0،2) 2/8 + (0،2) 3/16 - ... }
= 5 (1 + ،1-0،005 + 0.0005 - ...) = 5 (1،0955) = 5،4775
آلة حاسبة يقول 5.4772 (لذلك نحن دقيقة إلى ثلاث مراتب!). انها محاولة لنفسك. تذكر هو خدعة لكتابة الرقم كنسبة الكمال مربع زائد أو ناقص رقم آخر.
العثور على الجذر التربيعي ل 45 ونكتب على أنها
(36 + 9) 1/2 = 36 1/2 (1 + (9/36)) 1/2.
وهذا يعطي
6 (1 + 0،25) 1/2.
ويمكن أيضا أن جذور مكعب ينبغي القيام به بهذه الطريقة! بعد كل شيء، إذا كان هناك مؤشر من 1/2 هو الجذر التربيعي، ويترتب على ذلك مؤشر 3/1 هو جذر مكعب. في الواقع، مؤشر للن / 1 هو جذر نطة. توسيع صيغة نيوتن ل(1 + س) 1/3 يعطينا صيغة لجذور مكعب.
(1 + س) 1/3 = 1 + 1/3 س + (1/3) (-2 / 3) س 2/2! + (1/3) (-2 / 3) (-5 / 3) × 3/3! + ...
الذي يبسط إلى:
(1 + س) 1/3 = 1 + 1/3 س -1 / 9 س 2 + 5/81 × 3 - ...
ويمكن استخدام هذا للعثور على جذور مكعب. دعونا العثور على جذر مكعب من 30. مثل سابقا، نحن في حاجة إلى الكتابة على أنها مجموع رقمين. هذه المرة يجب ان أحد الأرقام أن يكون مكعب الكمال.
يمكننا أن نقول 30 1/3 = (27 + 3) 1/3 ل27 هو مكعب الكمال (3 × 3 × 3 = 27). بأخراج 27 1/3 وباستخدام صيغة نيوتن يمكن أن نكتب:
30 1/3 = (27 + 3) 1/3 = 27 1/3 (1 + 3/27) 1/3 = 3 (1 + 0،11) 1/3
هذا يوسع الآن (باستخدام الصيغة أعلاه) إلى:
3 {1 + (0.11) / 3 - (0،11) 2/9 + 5 (0،11) 3/81 - ...}
= 3 (1 + 0،0367-0،0013 + 0،0001 -) = 3 (1،0355) = 3،1065
آلة حاسبة يقول 3،10723، لذلك مرة أخرى ونحن الصحيحة لاثنين من الكسور العشرية.
باعتبارها مسألة ذات أهمية، لوغاريتمات يمكن أن تستخدم أيضا لحساب الجذور.
[b][center]
الرجوع الى أعلى الصفحة اذهب الى الأسفل
معاينة صفحة البيانات الشخصي للعضو
 
[b] مثلث باسكال [/b]
استعرض الموضوع السابق استعرض الموضوع التالي الرجوع الى أعلى الصفحة 
صفحة 1 من اصل 1

صلاحيات هذا المنتدى:لاتستطيع الرد على المواضيع في هذا المنتدى
منتديات المدرسة الخامسة والستون (65) الثانوية .. :: ركن الرياضيات : :: رياضيات 4 ..-
انتقل الى: